Поиск минимального / максимального элемента

Пусть дана функция $M \subset \R \to \R,$ и $x_0 \in M^0$ — внутренняя точка области определения $f.$ Тогда

$x_0$ называется точкой локального максимума функции $f,$ если существует проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$ такая, что
$\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);$
$x_0$ называется точкой локального минимума функции $f,$ если существует проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$ такая, что
$\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).$

Если неравенства выше строгие, то $x_0$ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

$x_0$ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
$\forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);$
$x_0$ называется точкой абсолютного минимума, если
$\forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).$

Значение функции $f(x_0)$ называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция $f,$ определённая на множестве $M,$ может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, $f(x) = x,\; x\in (-1,1).$

Необходимые условия существования локальных экстремумов

Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка $x_0$ является точкой экстремума функции $~f$ , определенной в некоторой окрестности точки $x_0$ .

Тогда либо производная $~f'(x_0)$ не существует, либо $~f'(x_0) = 0$ .

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

Достаточные условия существования локальных экстремумов

Пусть функция $f\in C(x_0)$ непрерывна в $x_0\in M^0,$ и существуют конечные или бесконечные односторонние производные $~f'_+(x_0), f'_-(x_0)$ . Тогда при условии

$f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0$

$x_0$ является точкой строгого локального максимума. А если

$f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,$

то $x_0$ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке $x_0$ .

Пусть функция $f$ непрерывна и дважды дифференцируема в точке $x_0$ . Тогда при условии

$~f'(x_0)=0$ и $~f''(x_0) < 0$

$x_0$ является точкой локального максимума. А если

$~f'(x_0)=0$ и $~f''(x_0) > 0$

то $x_0$ является точкой локального минимума.

Пусть функция $f$ дифференцируема $n$ раз в точке $x_0$ и $f'(x_0)=f''(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0$ , а $f^{(n)}(x_0)\ne 0$ .

Если $n$ чётно и $f^{(n)}(x_0)<0$ , то $x_0$ — точка локального максимума. Если $n$ чётно и $f^{(n)}(x_0)>0$ , то $x_0$ — точка локального минимума. Если $n$ нечётно, то экстремума нет.