English
РусскийДвижение солитонов в одномерном пространстве может быть представлено подстановкой
μ
1
:
S
(
i
)
?S
00
(
i
)
!
S
0
(
i
)
с алфавитом
A
B
и множеством имен
M
=
f
0
;
1
;:::;N
g
, где
S
(
i
) = (
u
i
;i
)
;
S
00
(
i
) = (
u
i
°
r
;i
°
r
)
;:::;
(
u
i
°
1
;i
°
1
;
)(
u
i
+1
;i
+ 1)
;:::;
(
u
i
+
r
;i
+
r
)
;
S
0
(
i
) = (
u
0
i
;i
)
:
(11)
Функция переходов
u
0
i
=
Ω
1
;
если
(
s
= 0
mod
2
&
s
6
= 0)
0
;
в иных случаях
;
где
s
=
r
X
k
=
°
r
u
i
+
k
:
(12)
КА, моделирующий движение солитонов, функционирует в упорядо-
ченном асинхронном режиме следующего вида. Подстановка (11) при-
меняется последовательно к клеткам в порядке
0
;
1
;:::;i
mod
N
;:::
. Таким
образом, в момент
t
первые
(
r
+ 1)
слагаемых в (12) уже находятся в
следующем состоянии. Начальное состояние клеточного массива должно
удовлетворять следующим условиям. Каждая волна представлена неко-
торым одномерным образом из нулей и единиц, называемым "частицей".
В нашем примере использованы частицы вида "11011"и "10001001". Пер-
вая частица через каждые
p
= 2
итерации оказывается смещенной на
d
= 7
клеток влево. Вторая частица через
p
= 6
смещается на
d
= 12
.
Таким образом, через каждые 6 итераций расстояние между частица-
ми уменьшается на 9 клеток. Если в начальном состоянии расстояние
между ними было 18 клеток, то через 12 тактов частицы оказываются
наложенными друг на друга, а на 30-м такте первая частица окажется
левее.
t
= 0 : 00000000000000000
:::
00
10001001
000000000000000000
11011
00
t
= 6 : 000000000
:::
00
10001001
00000000
11011
00000000000000000000
t
= 30 : 000000000000000000000
11011
0000
10001001
:::
00000000000000
t
= 36 :
011011
000000000000
10001001
0000000
:::
0000000000000000000
Для того, чтобы солитоны наблюдать в
виде привычных движущихся волн, следует произвести так называемое
осреднение булевых значений. Для этого следует ввести еще один клеточ-
ный массив
≠
1
=
f
(
z;i
1
) :
i
1
2
M
1
;z
2
A
R
g
, где
M
1
=
f
0
1
;
1
1
;:::;N
1
g
, к
клеткам которого через каждые 6 итераций применяется действующая в
синхронном режиме
параллельная подстановка осреднения
следующего
вида.
μ
Av
:
f
(
z;i
1
)
g
?
f
(
u
°
r
;i
°
r
)
;:::;
(
u
i
;i
)
;:::
(
u
r
;i
+
r
)
g
;
!f
(
z
0
i
;i
1
)
g
;
(22)
Функция переходов в (21) представляет вычисление среднего значения
состояний клеток в окрестности осреднения
Av
(
i
)
, размер которой опре-
Рис. 3.
Эволюция КА, моделирующего движение солитонов
деляется радиусом осреднения
R
.
z
0
i
=
1
j
Av
j
r
X
k
=
°
r
u
k
:
Объединение подстановок (11) и (21) можно выполнить при помо-
щи контекстов второго рода. Для этого множество имен нужно допол-
нить контекстным подмножеством
M
00
=
f
m
1
;m
2
g
и алфавитом
A
00
=
f
0
;
1
;:::;N
°
1
g
. Контекстная клетка
(
i;m
1
)
разрешает применить
μ
к
клетке с именем
i
2
M
0
, а контекстная клетка
(0
;m
2
)
управляет приме-
нением
μ
Av
через каждые 6 итераций. Таким образом, алгоритм парал-
лельных подстановок для движения солитонов содержит 4 подстановки
© =
f
μ
0
;μ
0
Av
;μ
00
1
;μ
00
2
g
, где
μ
0
и
μ
0
Av
–подстановки, дополненные контекстами
второго рода
(
i;m
1
)
и
(
x;m
2
)
, состояния которых меняются в соответ-
ствии с подстановками
μ
00
1
: (
i;m
1
)
!
(
Æ
1
;m
)
;
μ
00
2
: (
x;m
2
)
!
(
Æ
2
;m
2
)
;
где
Æ
1
= (
i
+ 1)
mod
N
; Æ
2
=
i
mod
6
:
При периодических граничных условиях и
r
= 4
в клеточном мас-
сиве
≠
2
можно наблюдать движение двух волн (осредненных "частиц")
справа налево, причем первая движется быстрее, обгоняя вторую.